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Hallemos el conjunto de ceros:
$
\begin{gathered}
e^{-x}=0 \\
-x=\ln (0) \\
x=-\ln (0)
\end{gathered}
$
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CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
ROSSOMANDO
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
1.
Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
b) $f(x)=e^{-x}$
b) $f(x)=e^{-x}$
Respuesta
Si ya viste el video de funciones exponenciales que te dejé en el curso, entonces ya podés venir a resolver los ejercicios. ¡Empecemos!
Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.
Hallemos el conjunto de ceros:
Esto es absurdo, pues el logaritmo natural de cero no existe.
• $C^{0} = \emptyset$
Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:
Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano.
Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.
Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
$
f(0)=e^{-0}=1
$
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea:
• $C^{+} = \Re$
• $C^{-} = \emptyset$
Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:
$ \begin{gathered}
e^{-x}=y \\
-x=\ln (y) \\
y^{-1}=-\ln (x)
\end{gathered} $
Calculamos su dominio:
$
x>0
$
$Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$
• $Imf =(0 ;+\infty)$
Asíntotas verticales:
No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV
Asintotas Horizontales:
$ \lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0 $
Vemos que por el lado de infinito positivo hay asintota.
Por el lado de infinito negativo no tenemos asíntota. Si te animás deja la foto justificando ésto con tus cálculos en los comentarios.
$
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
$
• Hay AH en $y=0$ por derecha.
La gráfica nos quedaría así: