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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
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Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

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1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
b) f(x)=e−xf(x)=e^{-x}

Respuesta


 
Si ya viste el video de funciones exponenciales que te dejé en el curso, entonces ya podés venir a resolver los ejercicios. ¡Empecemos!


Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.



Hallemos el conjunto de ceros:
  
e−x=0e^{-x}=0
−x=ln⁡(0)-x=\ln (0)
x=ln⁡(0)−1x=\frac{\ln (0)}{-1}
x=−ln⁡(0)x=-\ln (0)   
Esto es absurdo, pues el logaritmo natural de cero no existe. 

• C0=∅C^{0} = \emptyset


Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:  

Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. 

Como C0=∅C^{0} = \emptyset, eso significa que la funcion no cruza al eje xx, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.
Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
  f(0)=e−0=1 f(0)=e^{-0}=1  
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • C+= ℜC^{+} =  \Re 

• C−=∅C^{-} = \emptyset


Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio: e−x=ye^{-x}=y

−x=ln⁡(y)-x=\ln (y)

x=ln⁡(y)−1x=\frac{\ln (y)}{-1}

x=−ln⁡(x)x=-\ln (x)

y−1=−ln⁡(x)y^{-1}=-\ln (x) Calculamos su dominio:
x>0 x>0


Domf−1= (0;+∞)Domf^{-1} = (0 ;+\infty)


• Imf=(0;+∞)Imf =(0 ;+\infty)
  



Asíntotas verticales: 

No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV

Asintotas Horizontales: lim⁡x→∞e−x=e−∞=1e∞=1∞=0  \lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0  Vemos que por el lado de infinito positivo hay asintota. Por el lado de infinito negativo no tenemos asíntota. Si te animás deja la foto justificando ésto con tus cálculos en los comentarios.  lim⁡x→−∞ex=e−∞=1e∞=1∞=0 \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
 • Hay AH en y=0y=0 por derecha.




La gráfica nos quedaría así:




2024-05-08%2012:56:32_2342956.png
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Irina
11 de febrero 23:18
Hola profe! Cómo estas? Queria hacerte una consulta. A la hora de sacar el C0 queda -x= ln(0) y vos pasas ese -1 que multiplica a la x también como que multiplica a ln(0), al igual que cuando sacas el domf(-1). Es porque dividir es multiplicar por el inverso? Hubiera sido lo mismo que en el C0 me quedara x=ln(0)/-1 y en domf(-1) y=ln(x)/-1?
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Julieta
PROFE
12 de febrero 17:07
@Irina Hola Iri! Es por eso mismo, ahí agregué un paso extra para que puedas verlo. No te conviene dejar el resultado así x=ln(0)/-1 porque es raro, lo que se hace es colocar el - en el numerador, y después como el denominador es 1 no hace falta anotarlo, así que pasarías de tener esto x=-ln(0)/1 a tener x=-ln(0).
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